Os nomes mais cotados para a CCJ são os de Raimundo Lira (PMDB-PB) e Marta Suplicy (PMDB-SP), mas corre por fora o senador Edison Lobão (PMDB-MA), outro investigado pela Lava-Jato. Pelo tamanho da bancada, o PMDB poderia indicar também o presidente da Comissão de Assuntos Econômicos (CAE), mas a bancada do PSDB já pleiteou o cargo para Tasso Jereissati(PSDB-CE). Hoje a comissão é comandada pela senadora Gleisi Hoffmann (PT-PR), outra investigada pela Lava-Jato.
A CCJ é uma comissão estratégica em relação à Lava-Jato. Além do papel decisivo na aprovação de leis que podem afetar as investigações – anistia para caixa dois eleitoral e nova lei de abuso da autoridade, por exemplo –, pode inviabilizar o nome indicado para substituir Zavascki ao sabatiná-lo. Não há precedentes quanto a ministros do STF, mas em relação a outros cargos já houve vários casos.
O último ministro do STF indicado pela ex-presidente Dilma Rousseff, Luiz Edson Fachin, em 2015, passou por um verdadeiro pelourinho. Seu nome chegou ao Senado no dia 22 de abril e somente foi aprovado no plenário em 19 de maio, depois de duramente questionado na CCJ pelo senador Ricardo Ferraço (PSDB-ES). Ironicamente, Fachin é um dos nomes mais cotados para ser o novo relator da Lava-Jato.
Após a chegada da mensagem presidencial com o nome indicado para o STF e seu currículo, o regimento do Senado prevê que a CCJ escolha um relator para o processo. Esse senador deverá apresentar um parecer contendo, além do seu voto, recomendações para que o candidato apresente informações ainda não conhecidas que o relator considerar pertinentes.
Os membros da comissão receberão vista automática do relatório. O portal eletrônico do Senado abrirá consulta pública para que os cidadãos possam sugerir questionamentos e até mesmo apresentar informações sobre o indicado. Num prazo de até cinco dias úteis após a apresentação do relatório, a CCJ deverá sabatinar o escolhido pelo presidente.